Математики: решение проблемы простых чисел-близнецов

Американский математик Итан Чжан представил работу, которая может считаться важнейшим шагом на пути решения задачи о простых числах-близнецах — по некоторым данным, одной из старейших нерешенных проблем в математике.

Работа принята в Annals of Mathematics и, судя по первым отзывам рецензентов, ошибок не содержит. В открытом доступе статьи пока нет, но записи с семинара, который Чжан провел в Гарвардском университете, уже гуляют по Сети.

Простыми называются числа, которые делятся только на единицу и на себя (для удобства 1 в множество простых не включается). Они всегда интересовали математиков, ведь именно простые числа составляют кирпичики, из которых построены все остальные числа — хорошо известно, что всякое число единственным образом разлагается в произведение простых чисел (необязательно попарно различных).

Самые естественные вопросы, возникающие в связи с этим у математиков, касаются строения множества простых чисел. Несмотря на то, что большинство таких вопросов, как правило, формулируется очень просто, ответы на них не просто сложны. Чаще всего они оказываются результатом целых теорий, которые, как водится, имеют кучу полезных приложений — от криптографии до квантовой механики, но создавались исключительно для того, чтобы ответить на эти самые вопросы.

Многочлен Джонса

Формула для генерации простых чисел: множество неотрицательных значений этого многочлена от 26 переменных для всевозможных наборов из 26 натуральных чисел дает все простые числа.

Прежде всего возникает вопрос о том, конечно ли множество простых чисел. Ответ хорошо известен со школы: множество простых чисел бесконечно, и это легко доказать. Действительно, пусть это не так и множество простых чисел конечно. Обозначим эти числа через p1, p2, ... pn и рассмотрим число p1p2....pn + 1. Легко увидеть, что это число не делится ни на одно из перечисленных простых чисел, и, стало быть, среди его простых делителей есть числа, которые в наш список не попали. Это противоречие и завершает наше доказательство. Точнее, не наше, а Евклида, опубликованное в 9-м томе его «Начал».

Если простых чисел бесконечное множество, то возникает другой вопрос: как они расположены в ряду натуральных чисел? Нет ли для них, например, формулы? Выписывание первых нескольких чисел (скажем, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) совершенно не проясняет (по крайней мере автору) ситуацию. На настоящий момент известно несколько результатов, касающихся строения этого множества. Этим вопросом (о формуле) также занимался Евклид. Ему, например, принадлежит следующее наблюдение: квадратичный трехчлен n2 − n + 41 дает простые значения для всех натуральных n, не превосходящих 40. Быть может, тогда существует подходящая формула в виде многочлена? Легко доказывается, что такой формулы, конечно, нет. Впрочем, некоторое подобие формулы получить можно (см. врез выше).

Статьи

Проще некуда

Найдено простое число длиной в пять романов «Война и мир»

На три буквы

Японец заявил о доказательстве легендарной ABC-гипотезы

Если эффективной формулы для множества простых чисел нет, то, решили математики, его следует изучать другими методами. Например, насколько редко могут быть расположены простые числа? Оказывается, последовательные отрезки числового ряда, не содержащие ни одного простого числа, могут быть сколь угодно длинными. Действительно, возьмем произвольное натуральное число n и рассмотрим отрезок натурального ряда вида (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, ..., (n + 1)! + n + 1. Каждое из представленных чисел составное: первое делится на 2, второе — на 3, третье — на 4 и так далее. Стало быть, простые числа могут быть сколь угодно «разреженными». Более того, можно сказать, что в некотором смысле расстояние между соседними простыми числами в среднем растет как log p.

Соответственно, возникает следующий вопрос: а какое минимальное расстояние может быть между двумя простыми числами? Пусть это расстояние 1, то есть числа p и p + 1 простые одновременно. Учитывая, что четные и нечетные числа в числовом ряду чередуются, получаем, что одно из этих чисел должно быть четным, то есть делиться на 2. Если учесть, что по нашему (сугубо техническому) соглашению 1 не является простым числом, то существует одна-единственная такая пара простых чисел — это 2 и 3. Следовательно, расстояние между любыми двумя соседними другими простыми числами — как минимум два. Простые числа, расстояние между которыми равно двум, и называются числами-близнецами.

Первые несколько пар чисел-близнецов легко перечислить — это (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) и так далее. Самая большая пара чисел-близнецов из известных на настоящий момент была открыта в декабре 2011 года в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid. Она имеет вид (3756801695685 · 2666669 — 1, 3756801695685 · 2666669 + 1). В десятичной записи каждого из этих чисел по 200700 знаков. Это, конечно, очень большие числа, и само их существование ставит такой вот вопрос: конечно ли множество чисел-близнецов? Этот вопрос, точнее предположение о бесконечности этого множества, и носит название «гипотезы о числах-близнецах». Тут важно понимать, что бесконечность множества чисел-близнецов ни в коем случае не противоречит утверждению о логарифмическом росте расстояний между простыми числами — рост просто означает, что исключений (не укладывающихся в общую тенденцию чисел) достаточно мало.

Проблемы Ландау

1) Всякое четное число больше двух представляется в виде суммы двух простых (так называемая бинарная, или сильная, проблема Гольдбаха)

2) Между квадратами двух последовательных целых чисел всегда есть простое

3) Множество чисел-близнецов бесконечно

4) Существует бесконечно много простых чисел вида n2 + 1

Довольно часто гипотезу о числах-близнецах приписывают Евклиду. Разумеется, такого рода утверждения были грекам по силам, однако убедительных подтверждений этого факта нет. Впервые в печатной литературе эта гипотеза была высказана в 1849 году Альфонсом де Полиньяком в более общем виде: для любого четного числа 2k множество таких соседних простых чисел (то есть между которыми нет других простых), чтобы расстояние между ними в точности равнялось 2k, бесконечно. При k = 1 получаем оригинальную формулировку. Что касается термина «числа-близнецы», то он был введен в обиход математиком Вигго Бруном. Брун изучал разного рода простые числа и в 1915 году доказал замечательную теорему, о которой, пожалуй, следует рассказать чуть более подробно.

Гармоническим рядом называется последовательность дробей 1/n. Известно, что, несмотря на убывание величин этой последовательности, сумма этого ряда бесконечно большая: то есть, для любого наперед заданного числа можно подобрать такое N, что сумма первых N членов гармонического ряда будет больше этого числа. При этом, если брать не все натуральные n, а только простые, то есть рассмотреть последовательность 1/pn, где pn — последовательно занумерованные простые числа, то сумма полученного ряда все равно будет бесконечно большой (еще математики говорят, что такой ряд расходится).

Брун решил рассмотреть последовательность, состоящую только из чисел-близнецов. Если бы такой ряд расходился, то из этого немедленно бы вытекало утверждение гипотезы о числах-близнецах — ясное дело, сумма конечного числа чисел не бесконечна. Однако, оказалось, что сумма полученного ряда не только конечна (математики в таком случае говорят, что ряд сходится), но и равна достаточно небольшому числу, известному как константа Бруна B2. Она примерно равна 1,902160583104. То есть теорема Бруна является еще одним подтверждением того, что пар чисел-близнецов по сравнению с остальными простыми числами немного.

Итан Чжан

Интерес Бруна к числам-близнецам был инспирирован, среди прочего, выступлением Эдмунда Ландау на Пятом Международном конгрессе математиков в 1912 году. Тогда Ландау сформулировал четыре задачи из теории чисел, решение которых, по его мнению, было недостижимо для математиков того времени. Гипотеза о числах-близнецах была одной из этих проблем. На самом деле за прошедшие 100 лет ситуация несколько изменилась, но только не для гипотезы о числах-близнецах (например, тринарная проблема Гольдбаха для достаточно больших чисел была решена в 1937 году Виноградовым). При этом большинство математиков уверены в истинности гипотезы о числах-близнецах. Например, самое свежее неправильное доказательство этого утверждения датируется 2004 годом.

Да что там гипотеза! До последнего времени не был понятен даже такой факт. Рассмотрим множество Mk из гипотезы Полиньяка соседних простых чисел, расстояние между которыми равно 2k. Бесконечно ли это множество хоть для какого-нибудь k? Лишь только теперь математик из США Итан Чжан показал, что для некоторого k, не превосходящего 35 миллионов, такое множество действительно бесконечно. На первый взгляд может показаться, что 35 миллионов от 1 (речь про k) очень уж далеки, но не для математики.

Итак, что же сделал Чжан? Он взял более раннюю работу своего коллеги и немного подправил функции, которые там фигурировали (более подробно доказательство изложено здесь). При этом, что особенно удивительно и что даже вызвало подозрения на первом этапе анализа доказательства, Чжан использовал уже существующую технику. В этом смысле его доказательство разительно отличается от, например, недавнего доказательства ABC-гипотезы Синити Мотидзуки (тоже, кстати, ключевой проблемы теории чисел, которую часто упоминают в одном ряду с гипотезой о числах-близнецах). Доказательство Мотидзуки занимает свыше 500 страниц и содержит целую теорию — с момента публикации прошло полгода, а результаты его проверки до сих пор неизвестны. Скорее всего, математики, занимающиеся этой самой проверкой, до сих пор не добрались до конца работы.

Статья Чжана, напротив, довольно проста. Более того, ее рецензенты из Annals of Mathematics — журнала, куда она была подана — заявили, что судя по всему работа верна. Главное, впрочем, даже не это — не исключено, что метод Чжана еще можно будет подправить, так что, возможно, значение k удастся уменьшить. Сам математик почти уверен, что до 1 дело не дойдет, но что можно «сбить» с 35 миллионов, он не сомневается.

Вместо заключения

Здесь, по хорошей традиции, автор должен попытаться ответить на вопрос пытливого читателя: «А зачем все это нужно?» В этот раз ответ будет в виде байки.

В 1994 году математик Томас Найсли вычислял константу Бруна. Делал он это грубой силой, то есть считая сумму дробей для пар чисел-близнецов. Когда дело дошло до пары (824 633 702 441, 824 633 702 443), в машинной выдаче обнаружились странности. В частности, суммы, посчитанные до добавления в сеть новых мощных машин на базе Pentium, отличались от цифр, полученных после. Проведя несколько испытаний, Найсли пришел к выводу, что в процессорах Intel имеется какой-то дефект в системе деления чисел с плавающей точкой. Несмотря на то, что неправильный результат в среднем выдавался в одном случае из 9 миллиардов, новость о наличии бага привела к тому, что в 1995 году корпорация Intel потратила 475 миллионов долларов на замену содержащих дефект процессоров. Такие дела.

Источник: lenta.ru

Похожие новости:
Математики обнаружили странности в поведении простых чисел
Математики из Стэнфорда Каннан Саундарараджан и Роберт Лемке Оливер обнаружили неожиданную закономерность в поведении простых чисел. Свою гипотезу, подкрепленную некоторым количеством эмпирических вычислений, ученые изложили в препринте на сайте arXiv.org.Основным объектом изучения выступала последовательность простых ..
2016-03-14 4534 0 Научные открытия
1
Математики открыли новое наибольшее простое число
Математик Кертис Купер из Центрального университета Миссури в городе Уорренсберг открыл новое наибольшее из известных науке простое число. Оно равно 274207281 – 1 и содержит 22 338 618 цифр. Об этом сообщает издание New Scientist.Простым числом называется натуральное число, имеющее только ..
2016-01-20 2554 0 Научные открытия
2
Американские математики получили самое большое простое число
Американские математики, участвующие в проекте GIMPS, получили самое большое известное простое число — оно состоит из 17 миллионов цифр, его открытие позволит получить новые стойкие шифры, сообщает РИА Новости со ссылкой на сайт проекта. Новое простое число, относящееся к классу ..
2013-02-7 2138 0 Научные открытия
0
Российский математик заявил о решении двух проблем Гильберта
Профессор Нижегородского государственного университета имени Николая Лобачевского доктор физико-математических наук Ярослав Сергеев в интервью ТАСС заявил о решении двух проблем Гильберта. Исследования опубликованы в журнале Европейского математического общества EMS Surveys in Mathematical Sciences.Первая проблема, о решении ..
2017-11-28 12563 0 Научные открытия
1
Объявлено о самом объемном доказательстве в математике
Ученые из США и Великобритании заявили о крупнейшем по объему занятой компьютерной памяти доказательстве в истории математики. Препринт с исследованием опубликован на сайте arXiv.org, кратко о нем сообщает издание Nature.Для решения булевой проблемы пифагоровых троек специалисты использовали суперкомпьютер Stampede Техасского ..
2016-05-29 2268 0 Научные открытия
0
«Японский Перельман» согласился объяснить главнейшую тайну математики
Синъити Мотидзуки из Киотского университета в Японии, которого некоторые сравнивают с российским ученым Григорием Перельманом, в декабре 2015 года согласился объяснить своим коллегам предложенное научному сообществу три года назад решение самой большой тайны в математике — сформулированной ..
2015-10-08 3505 0 Научные открытия
1
Решена одна из старейших и сложнейших математических задач
Схематическое разбиение нескольких первых четных чисел в сумму простых. В середине мая 2013 года математик из Перу, в настоящее время работающий во Франции, Харальд Хельфготт выложил в архив препринтов Корнельского университета статью «Большие дуги для теоремы Гольдбаха». Эта статья ..
2013-06-18 4346 0 Научные открытия
0
Премию Крафорда присудили за открытие черной дыры в Млечном Пути
В Швеции объявлены лауреаты премии Крафорда, присуждающейся за открытия в области астрономии, математики, а также биологии, наук о земле и исследований методов лечения полиартрита. В 2012 году награда вручена и астрономам и математикам. Основания присуждения премии указаны в пресс-релизе призового ..
2012-01-19 2470 0 Научные открытия
0
Челябинский ученый решил одну из семи неразрешимых задач
Математик из Челябинска Анатолий Панюков нашел решение одной из важнейших задач в современной науке. Как сообщил «Новому Региону» доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой экономико-математических методов и статистики на факультете вычислительной математики и информатики Анатолий Панюков, с 1983 ..
2013-12-16 3420 0 Научные открытия
-1
Японский математик заявил о доказательстве АВС-гипотезы
Японский математик Шиничи Мотидзуки (Shinichi Mochizuki) заявил о доказательстве знаменитой ABC-гипотезы, считающейся одним из ключевых утверждений в теории чисел. Свое доказательство он изложил в серии из четырех работ (1,2, 3 и 4), краткое изложение которыхприводит Nature News. Работы были выложены ..
2012-09-11 1972 0 Научные открытия
0
Абелевскую премию дали за работы по гипотезам Вейля
Абелевскую премию 2013 года получил Пьер Делинь. Об этом сообщается на сайте премии, где шла прямая трансляция церемонии. Делинь получил награду за "революционный вклад в алгебраическую геометрию, который трансформировал теорию представлении, теорию чисел и многие смежные области". ..
2013-03-20 1867 0 Научные открытия
0
Математики нашли новый тип пятиугольного паркета
Математики из Вашингтонского университета в Ботелле открыли новый тип пятиугольных паркетов — выпуклых пятиугольников, которыми можно замостить плоскость без пробелов и наложений. Ранее было известно только 14 типов таких пятиугольников, последний из которых был открыт 30 лет назад. Об этом сообщает издание ..
2015-08-12 6428 0 Научные открытия
1
Японец заявил о доказательстве легендарной ABC-гипотезы
В августе 2012 года японский математик Синити Мотидзуки опубликовал серию из четырех работ, в которых заложил основы арифметической теории пространств Тейхмюллера. Главное, впрочем, не сама теория, а сфера ее применения - с ее помощью можно доказать (что Мотидзуки и делает ..
2012-09-14 2255 0 Научные открытия
1
Ученые провели самые масштабные квантовые вычисления
Американские и канадские ученые провели самое масштабное вычисление при помощи квантового компьютера на настоящий момент. Им удалось посчитать так называемые двухцветные числа Рамсея. Препринт статьи появился на сайте arXiv.org. Теория Рамсея, названная в честь английского математика Франка Рамсея, ..
2012-01-14 2821 0 Научные открытия
1
Японские физики-ядерщики нашли магическое число
Японские ученые утверждают, что нашли новое так званое «магическое число» — ключ к определению, когда ядро атома становиться стабильным. В ядерной физике магические числа — ряд натуральных чётных чисел, соответствующих количеству нуклонов в атомном ядре, при котором ..
2013-10-16 3742 3 Научные открытия
2